I-1. 원과 직선

Ⅷ. 원의 성질

1 원의 현                                pp. 193~195

1 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로
⑴ 3         ⑵ 8         ⑶ 5

2

현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로

① 두 점 A와 B를 중심으로 하는 원을 그려 선분 AB의 수직이등분선 [eqn: l]을 그린다.

② 두 점 B와 C를 중심으로 하는 원을 그려 선분 BC의 수직이등분선 [eqn: m]을 그린다.

③ ①, ②에서 두 직선 [eqn: l,```m]만나는 점이 연못의 중심이다.

3 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하고, 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심에서 같은 거리에 있으므로
⑴ 8	⑵ [eqn: sqrt {11}]

4 한 원의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 [eqn: rm ` bar{AB}=rm ` bar{AC}]
따라서 ∆ABC는 [eqn: rm ` bar{AB}=rm ` bar{AC}]인 이등변삼각형이다.

말로 묻고 말로 답하기                             p. 195

1. ⑴ 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나야 하는데 지나지 않는다.

⑵ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하는데 이등분된 현의 길이가 다르다.

2. ⑴ 한 원의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 8이다.

⑵ 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심에서 같은 거리에 있으므로 3이다.

2 원의 접선                    pp. 197~199

1 [eqn: rm bar{PA}]가 원의 접선이므로 [eqn: rm bar{PA}]⊥[eqn: rm bar{OA}]
∴ [eqn: ANGLE x=180°-(90°+40°)=50°]

2 반지름의 길이가 5 cm이므로
[eqn: rm bar{PO} =8+5=13](cm)
∴ [eqn: rm bar{PA}][eqn: = rm bar{PB} = sqrt {13 ^{2} -5 ^{2}} =12](cm)
따라서 접선의 길이는 12 cm이다.

3 1700 m=1.7 km이므로
[eqn: rm bar{PA} = sqrt {6401.7 ^{2} -6400 ^{2}} image 147.52](km)

4

접점을 P, Q, R, S라 하면
[eqn: rm ` bar{OQ} = rm 4] cm, [eqn: rm ` bar{BC} =12] cm, [eqn: rm ` bar{CD} = rm 10] cm
이므로
[eqn: rm ` bar{BP} = rm ` bar{BQ} =4] cm, [eqn: rm ` bar{CQ} = rm ` bar{CR} =8] cm,
[eqn: rm ` bar{DR} = rm ` bar{DS} =2] cm, [eqn: rm ` bar{AP} = rm ` bar{AS} =4] cm
∴ [eqn: rm ` bar{AD} = rm ` bar{AS} ``+ bar{DS} =4+2=6](cm)

5

[eqn: rm ` bar{CP} = rm ` bar{CB} = rm 8] cm, [eqn: rm ` bar{PD} = rm ` bar{AD} = rm 3] cm
∴ [eqn: rm ` bar{CD} = rm ` bar{CP} ``+ bar{PD} =8+3=11](cm)
점 D에서 [eqn: rm ` bar{BC}]에 내린 수선의 발을 H라 하면
[eqn: rm ` bar{CH} = rm ` bar{CB} - bar{BH} =8-3=5](cm)
[eqn: rm ` bar{DH} = sqrt {11 ^{2} -5 ^{2}} = sqrt {96} =4 sqrt {6}](cm)
∴ □ABCD[eqn: = {1} over {2} TIMES (3+8) TIMES 4 sqrt {6}]
[eqn: =22 sqrt {6}][eqn: rm (cm ^{2} )]

6

[eqn: rm ` bar{AP} =itx] cm라 하면 [eqn: rm ` bar{AR} =itx] cm
[eqn: rm ` bar{AB} = it 10] cm, [eqn: rm ` bar{AC} = it 8] cm이므로
[eqn: rm ` bar{BP} = rm ` bar{BQ} =(10 -ITx)](cm)
[eqn: rm ` bar{CR} = rm ` bar{CQ} =(8- it x)](cm)
[eqn: rm ` bar{BC} = rm ` bar{BQ} + bar{CQ}], [eqn: rm ` bar{BC} =`12] cm이므로
[eqn: (10-x)+(8-x)=12], [eqn: 18-2x=12]
∴ [eqn: x=3]
∴ [eqn: rm bar{AP}=3] cm

말로 묻고 말로 답하기                             p. 199

1. [eqn: rm ` bar{PA} ,``` rm ` bar{PB}]가 원 O의 접선이므로
∠PAO=∠PBO=90°
□PAOB의 내각의 크기의 합은 360°이므로
∠APB+∠AOB=360°-(90°+90°)=180°
이어야 한다. 그런데
∠APB+∠AOB=36°+148°=184°
이므로 잘못되었다.

2. 내접원의 지름의 길이가 정사각형의 한 변의 길이와 같으므로 반지름의 길이는 2 cm이다.

배운 내용 확인하기                                 p. 201

1 유물의 반지름의 길이를 [eqn: x] cm라 하면
[eqn: rm ` bar{CO} = it x] cm, [eqn: rm ` bar{PA} = it 2] cm,
[eqn: rm ` bar{PO} = it (x-2)] cm,
[eqn: rm ` bar{PC} = it 5] cm이므로
[eqn: x ^{2} =5 ^{2} +(x-2) ^{2}]
[eqn: 4x=29]    ∴ [eqn: x= {29} over {4}]
따라서 유물의 지름의 길이는 [eqn: {29} over {2}] cm
이다.

2 [eqn: rm ` bar{OM} = rm ` bar{ON}]이므로 [eqn: rm ` bar{BC} = rm ` bar{AC}]
∆ABC가 이등변삼각형이므로
∠ACB=180°-(75°+75°)=30°

3 접점을 P, Q, R, S라 하면 ∆CED에서
[eqn: rm ` bar{DE} = sqrt {5 ^{2} -3 ^{2}} =4](cm)
이므로
[eqn: rm ` bar{AP} = rm ` bar{BP} rm `= bar{AS} = rm ` bar{BQ} =2] cm
[eqn: rm ` bar{CR} = it x] cm라 하면 [eqn: rm ` bar{CQ} = it x] cm
[eqn: rm ` bar{RD} = rm ` bar{DS} rm `=(5-ITx)] cm
[eqn: rm ` bar{AD} = rm ` bar{BE} rm `]이므로 [eqn: 2+(5-x)=2+x+3]
[eqn: 2x=2]    ∴ [eqn: x=1]
∴ [eqn: rm ` bar{AD} =2+5-1=6](cm)

생각 나눔터                                        p. 201

농구공의 중심을 O, 농구공과 고깔모자가 만나는 접점을 C라 하면 ∆BCO는 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의하여
[eqn: rm ` bar{BO} = sqrt {15 ^{2} +10 ^{2}} = sqrt {325} =5 sqrt {13}](cm)

∴ [eqn: rm ` bar{AB} =(10+5 sqrt {13} )] cm

I-2. 원주각

1 원주각과 그 성질                   pp. 206~210

1 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 [eqn: {1} over {2}]이므로
⑴ 60°       ⑵ 60°      ⑶ 40°

2 ⑴ [eqn: RMarch{AB}]가 반원이므로 ∠APB=90°
∴ ∠[eqn: x=180°-(30°+90°)=60°]

⑵ [eqn: RMarch{AB}]에 대한 원주각이므로
∠[eqn: x=]∠APB=50°
[eqn: rm arch{PQ}]에 대한 원주각이므로
∠[eqn: y=]∠PAQ=20°

⑶ ∠[eqn: x= {1} over {2} TIMES 220°=110°]
∠[eqn: y= {1} over {2} TIMES (360°-220°)=70°]

3 같은 길이의 호에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로

⑴ [eqn: ANGLE x=4 TIMES 15°=60°]

⑵ [eqn: ANGLE x=2 TIMES 25°=50°]

4 [eqn: rmbar{BD}]를 그으면 ∠ADB=∠CBD(엇각)
같은 크기의 원주각에 대한 호의 길이는 같으므로 [eqn: x=6]

5 접선과 현이 이루는 각의 성질에 의하여

⑴ [eqn: ANGLE x=90°,```` ANGLE y=50°]

⑵ [eqn: ANGLE x=80°,```` ANGLE y=40°]

⑶ [eqn: ANGLE x=110°,```` ANGLE y=40°]

6 [eqn: rm bar{PM} ,``` rm bar{QM} ,``` rm bar{PQ}]를 그으면 ∠AMP는 [eqn: rm arch{PM}]의 원주각의 크기와 같다. 점 M이 반원인 [eqn: rm arch{PQ}]의 중점이므로 [eqn: rm arch{PM}]의 원주각
∠PQM=45°
∴ ∠AMP=45°

말로 묻고 말로 답하기                             p. 210

⑴ 같은 길이의 호에 대한 원주각의 크기는 서로 같아야 하는데 다르다.

⑵ 호의 길이가 2배이므로 원주각의 크기도 2배이어야 하는데 그렇지 않다.

⑶ 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같아야 하는데 다르다.

2 원과 사각형                  pp. 212~216

1 ⑴ [eqn: ANGLE x=180°-80°=100°]
[eqn: ANGLE y=180°-100°=80°]

⑵ [eqn: ANGLE x=180°-(60°+40°)=80°]
[eqn: ANGLE y=180°-80°=100°]

2 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같으므로

⑴ [eqn: ANGLE x=85°,```` ANGLE y=80°]

⑵ [eqn: ANGLE x=2 TIMES 55°=110°]
[eqn: ANGLE y=180°-80°=100°]

⑶ [eqn: rm ANGLE BAD=80°]이므로 [eqn: rm ANGLE CAD=30°]
∴ [eqn: ANGLE x=30°]
[eqn: ANGLE y= ANGLE rm ABD=180°-(80°+45°)=55°]

3 [eqn: rmbar{PQ}]를 그으면 [eqn: rm∠BQP=∠PDC=95°]
∴ [eqn: ∠x=180°-95°=85°]

4 ⑴ [eqn: ANGLE x=55°]

⑵ [eqn: ANGLE x=180°-(40°+80°)=60°]

⑶ [eqn: ANGLE x=180°-(90°+60°)=30°]

5 ∆ABN과 ∆ACM에서
∠BAN=∠CAM=60°,
[eqn: rm ` bar{AB} =rm bar{AC}],
[eqn: rm ` bar{AN} = rm bar{AM}]이므로 ∆ABN≡∆ACM
∴ ∠ABN=∠ACM
즉, ∠MBN=∠NCM
따라서 점 B, C, M, N은 한 원 위에 있다.

6 사각형이 원에 내접하기 위해서는 한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같아야 하므로 [eqn: ANGLE x=60°]
또, 대각의 크기의 합이 180°이어야 하므로
[eqn: ANGLE y=180°-70°=110°]

7 □ABCD가 원 O에 내접하므로
[eqn: rmANGLE ABC= ANGLE ADF]
[eqn: rm bar{BE}]의 연장선 위의 점을 G라 하면
[eqn: rm ANGLE ABC= ANGLE]GEF(동위각)
∴ ∠GEF=∠ADF
한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같으므로 □ADFE는 원에 내접하는 사각형이다.

말로 묻고 말로 답하기                             p. 216

1. 직사각형은 대각의 크기의 합은 180°이고, 등변사다리꼴은 한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같으므로 ⑵, ⑷이다.

2. 네 점 A, B, C, P가 한 원 위에 있으므로 ∠APB=∠ACB=30°
∠APC=∠ABC=50°
∴ ∠BPC=∠APB+∠APC

=30°+50°=80°

3 원과 비례                    pp. 218~221

1 [eqn: rm ` bar{PA} ``·`` rm ` bar{PB} = rm ` bar{PC} ``·`` rm ` bar{PD}]이므로
⑴ [eqn: 2x=3 TIMES 5]    ∴ [eqn: x= {15} over {2}]

⑵ [eqn: 6 TIMES (6+4)=4 TIMES (4+x)]
[eqn: 16+4x=60]
∴ [eqn: x=11]

2 [eqn: rm ` bar{PQ} =itx]라 하면 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 [eqn: rm ` bar{PQ} = it rm ` bar{PQ prime}]
[eqn: rm ` bar{PA} ``·`` rm ` bar{PB} = rm ` bar{PQ} ``·`` rm ` bar{PQ prime}]이므로 [eqn: ab=x^2]
[eqn: x>0]이므로 [eqn: x= sqrt { ab}]
∴ [eqn: rm ` bar{PQ} =` bar{PQ prime } = itsqrt {ab}]

3 ⑴ [eqn: 3 TIMES 4=2 TIMES 6]이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.

⑵ [eqn: 4 TIMES (4+2)=3 TIMES (3+5)], 즉
[eqn: 4 TIMES 6=3 TIMES 8]이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.

⑶ [eqn: 4 TIMES 4 != 3 TIMES 3]이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있지 않다.

4 ⑴ [eqn: (3 sqrt {3} ) ^{2} =x(x+6)], [eqn: x ^{2} +6x-27=0]
[eqn: (x-3)(x+9)=0]
[eqn: x>0]이므로 [eqn: x=3]

⑵ [eqn: x ^{2} =4 TIMES (4+6)=40]
[eqn: x>0]이므로 [eqn: x=2 sqrt {10}]

5 [eqn: rm ` {bar{PS}}^{2}=bar{PA} ``·`` rm ` bar{PB}], [eqn: rm `{ bar{PT}} ^{2} = bar{PA} ``·`` rm ` bar{PB}]이므로
[eqn: rm ` {bar{PS}} ^{2} ={ bar{PT}} ^{2}]
[eqn: rm bar{PS} >0,````` rm bar{PT} >0]이므로 [eqn: ` rm bar{PT} = rm bar{PS} =6] cm
∴ [eqn: x=6]

말로 묻고 말로 답하기                             p. 221

1. ⑴ 두 현이 만나므로 [eqn: rm ` bar{PA} ``·`` rm ` bar{PB} = rm ` bar{PC} ``·`` rm ` bar{PD}]가 성립해야 하는데 [eqn: 3 TIMES 6 != 2 TIMES 10]이므로 잘못되었다.

⑵ 원의 접선과 할선의 길이의 비에 의하여 [eqn: rm `{ bar{PT}} ^{2} = bar{PA} ``·`` rm ` bar{PB}]가 성립해야 하는데 [eqn: 4 ^{2} != 2 TIMES 9]이므로 잘못되었다.

2. [eqn: 2 TIMES 9=3 TIMES 6]이 되어 [eqn: rm ` bar{PA} ``·`` rm ` bar{PB} = rm ` bar{PC} ``·`` rm ` bar{PD}]가 성립하므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.

배운 내용 확인하기                                 p. 223

1 [eqn: rm ` bar{AC}]를 그으면 ∆CDA에서 ∠ACD=40°
[eqn: rm ` bar{AB}=bar{AD}]이므로 [eqn: RMarch { AB}=arch { AD}]
∴ ∠BCA=40°
∴ [eqn: ANGLE x=40°+40°=80°]

2 ⑴ ∠B=∠D=90°이므로 ∠A=∠C=90°
한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°이므로 □ABCD는 원에 내접한다.

⑵ ∠ADC=180°-80°=100°이므로
□ABCD는 원에 내접한다.

3 ∠BEC=∠BDC=90°이므로 □EBCD는 원에 내접하는 사각형이다. 따라서 한 원 위에 있는 네 점은 B, C, D, E이다.
[eqn: rm ` bar{AE} ``·`` rm ` bar{AB} = rm ` bar{AD} ``·`` rm ` bar{AC}]이므로
[eqn: x(x+2)=3 TIMES 8]
[eqn: x ^{2} +2x-24=0], [eqn: (x-4)(x+6)=0]
[eqn: x>0]이므로 [eqn: x=4]

생각 나눔터                                        p. 223

● 점 A를 포함하는 [eqn: RMarch{CD}]를 정한다. [eqn: RMbar{CD}]와 [eqn: rm bar{AB}]가 만나는 점을 P라 하고, [eqn: rm bar{PA}], [eqn: rm bar{PC}], [eqn: rm bar{PD}]의 거리를 구한다.
[eqn: rm ` bar{PA} ``·`` rm ` bar{PB} = rm ` bar{PC} ``·`` rm ` bar{PD}]이므로
[eqn: rm ` bar{PB} = {bar{PA} ``·`` rm ` bar{PD}} over {bar{PC}} rm `]
∴ [eqn: rm ` bar{AB} = rm ` bar{PA} +` bar{PB}]
즉, 원에서 측정 가능한 짧은 현의 길이를 이용하여 긴 현의 길이도 구할 수 있다.